Wir haben eine Anzahl von Würfeln. Einer hat ein anderes Gewicht als die übrigen. Wie finden wir ihn mit möglichst wenig Wiegevorgängen?
Einer ist zu schwer
- Bei zwei Würfeln sehen wir sofort, welcher zu schwer ist.
- Nehmen wir mal 4 Würfel. Zwei links zwei rechts und dann noch einmal die beiden vergleichen, bei denen sich die Waage gesenkt hat. So einfach geht das!
- Und bei 8 Würfeln? Da fangen wir mit 4 auf jeder Seite an, Dreimal wiegen und wir sind am Ziel.
Die Schüler verstehen das Prinzip der fortgesetzten Halbierung. Sie werden in der Lage sein, die Zahlenreihe auf 16 und 32 zu erweitern.
Der Lehrer fragt: Wie ist es denn bei 3 Würfeln?
- Bei drei Würfel ist es derjenige, der nicht auf der Waage liegt, falls wir ein Gleichgewicht sehen. Aha, eine einzige Wiegung genügt also auch bei 3 Würfeln.
- Bei 5 Würfeln genügt es ebenfalls, zweimal zu wiegen! Warum? Was kann passieren?
- Wenn wir bei 6 Würfeln immer ein Pärchen vergleichen, kann es sein, dass wir dreimal wiegen müssen. Es geht aber auch mit zweimal wiegen!
- Sogar mit 7, 8 oder 9 Würfeln genügen zwei Wiegevorgänge, Wer hätte das gedacht? Wie muss man genau vorgehen?
- Was ist die größte Zahl von Würfeln, bei der drei Wiegungen ausreichen? (27)
- Warum behaupte ich, dass es bei 81 Würfeln mit 4 mal wiegen funktioniert?
Ohne dass man den Begriff der Potenzreihe 3,9,27,81,… benutzen muss, verstehen die Kinder, dass es immer dreimal so viele sind. Sie lernen, dass das Prinzip der Drittelung „besser“ (effizienter) ist als die Halbierung.
Einer ist zu leicht
Ohne Nachzudenken ist klar: Das geht genau nach dem selben Prinzip, nur anders herum.
Zwei sind zu schwer
Jetzt wird es kompliziert. Wenn zufällig auf beiden Seiten der Waage jeweils einer der beiden schweren Würfel liegt, werden wir nämlich keinen Unterschied sehen!
Diese Aufgabe hat Rätselcharakter. Sie eignet sich eher als freiwillige Hausaufgabe als für den Unterricht. Die folgende Erläuterung könnte einen Teil der Klasse überfordern, manche Kinder aber auch motivieren.
Der Lehrer demonstriert, wie man an so eine Aufgabe herangehen kann. Er verwendet 5 Würfel, die von 1 .. 5 nummeriert werden.
Eine Serie von Wiegungen wird durch Ungleichungen dargestellt, wobei „>“ „ist schwerer als“ bedeutet. Hinter dem „===“ steht immer, welches die beiden schweren Würfel sind.
1 > 2 , 3 > 4 === 1,3
1 > 2 , 3 < 4 === 1,4
1 > 2 , 3 = 4 === 1,5
1 < 2 dreimal wie zuvor in der selben Art
1 = 2 , 3 > 4 === 3,5
1 = 2 , 3 < 4 === 4,5
1 = 2 , 3 = 4 , 1+2 > 3+4 === 1,2
1 = 2 , 3 = 4 , 1+2 < 3+4 === 3,4
1 = 2 , 3 = 4 , 1+2 = 3+4 kann nicht seinEs fällt auf, dass wir nur in zwei von acht Fällen dreimal wiegen müssen. Außerdem kann der letzte Fall nicht vorkommen. Das deutet darauf hin, dass drei Wiegungen vielleicht auch bei einer größeren Anzahl von Würfeln ausreichen könnten.
Hausaufgabe: Kann man bei 6 Würfeln durch dreimal Wiegen die beiden Würfel finden, die schwerer sind als die anderen?
Lösungshilfe: Beginne mit drei Würfeln auf jeder Seite. Wenn Gleichgewicht herrscht, entferne auf beiden Seiten einen Würfel und vertausche einen Würfel von links mit einem von rechts. Schreibe alle Zweier-Pärchen von Würfeln auf. Streiche diejenigen durch, die es nicht sein können, weil deine Wiegeergebnisse sonst anders ausgefallen wären.
Einer ist zu leicht oder zu schwer
Jetzt wird es definitiv sehr anspruchsvoll (ab 10-14 Jahre). Bei 12 Würfeln kann man erstaunlicherweise durch dreimaliges Wiegen den abweichenden Würfel finden. Und man weiß dann sogar, ob er zu leicht oder zu schwer ist. Aber wie?
Man kann sogar bei 13 Würfeln denjenigen finden, der abweicht – ohne dass man allerdings nach drei Wiegungen weiß, ob dieser Würfel zu leicht oder zu schwer ist.
Kaputte Waage
Eine Sonderform des Rätsels lautet so:
Es gibt 9 Würfel, einer ist zu schwer. Der Haken dabei ist: Man hat drei äußerlich gleich aussehende Balkenwaagen zur Verfügung. Zwei funktionieren korrekt, eine jedoch liefert zufällige Ergebnisse.
Aber Vorsicht: Die kaputte Waage zeigt nicht grundsätzlich das falsche Ergebnis an, sondern ein zufälliges. Sie kann also auch „rein zufällig“ einmal oder mehrmals ein richtiges Ergebnis zeigen!
Ist es mit viermal wiegen zu schaffen?
Jemand behauptet, dass es ihm bei 70 Würfeln mit siebenmal Wiegen immer gelingt, den falschen Würfel zu finden. Hat er recht?