{"id":871,"date":"2022-11-06T06:58:38","date_gmt":"2022-11-06T05:58:38","guid":{"rendered":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/?p=871"},"modified":"2022-11-07T08:21:44","modified_gmt":"2022-11-07T07:21:44","slug":"doppelwaage-erste-messungen","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/doppelwaage-erste-messungen\/","title":{"rendered":"Doppelwaage – Erste Messungen"},"content":{"rendered":"\n

W\u00fcrfel vergleichen<\/h2>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Nun vergleichen wir die Holzw\u00fcrfel, mit denen wir die Waage benutzen wollen. <\/p>\n\n\n\n

\u00dcberrascht stellen wir fest, dass sie nicht alle genau gleich schwer sind. Holz ist ein nat\u00fcrlicher Werkstoff, der Unregelm\u00e4\u00dfigkeiten im Wuchs hat. Durch Trocknung verliert Holz Feuchtigkeit und wird leichter. Ein Kind versucht mit Hilfe der Waage zwei W\u00fcrfel zu finden, die einen deutlichen Gewichtsunterschied haben. Ein anderes Kind (das dabei nicht zugeschaut hat) nimmt die W\u00fcrfel in die Hand und versucht zu sp\u00fcren, welcher schwerer ist.<\/p>\n\n\n\n


Wir wiederholen das gleiche Experiment mit zwei anderen W\u00fcrfeln, wobei diesmal alle Kinder wegschauen. Danach bildet sich reihum jedes Kind eine Meinung, sagt sie aber nicht gleich. Dann werden die beiden W\u00fcrfel getrennt abgelegt und auf ein Zeichen hin stellen sich alle Kinder zu dem W\u00fcrfel, den sie f\u00fcr den schwereren halten. Dann werden beide W\u00fcrfel auf die Waage gelegt.
Gibt es so etwas wie Schwarmintelligenz? Hat die Mehrheit recht gehabt?
<\/p>\n\n\n\n

Wir wiederholen das Experiment. Diesmal stellt sich jedoch jedes Kind sofort auf einen bestimmten Platz, um anzudeuten, welchen W\u00fcrfel es f\u00fcr schwerer h\u00e4lt. Gibt es so etwas wie eine Mitl\u00e4ufer-Effekt? F\u00e4llt das Ergebnis diesmal eindeutiger aus? Ist es richtig?<\/p>\n\n\n\n


Wir k\u00f6nnen das Experiment noch einmal wiederholen. Wir teilen diesmal die Kinder in zwei Gruppen ein, und zwar in diejenigen, die vorher richtig lagen („Experten“) und in die, die sich geirrt hatten („Rater“). Die Kinder beider Gruppen kommen immer abwechselnd an die Reihe und geben dann immer gleich ihre Meinung kund, indem sie sich auf den jeweiligen Platz stellen. Es beginnt ein „Experte“. Was passiert diesmal?<\/p>\n\n\n\n

Systematisch vorgehen<\/h2>\n\n\n\n

Wir wollen sp\u00e4ter mehrere W\u00fcrfel an unterschiedliche Positionen (A-F) legen. Die W\u00fcrfel, die wir f\u00fcr diese Experimente benutzen, sollten m\u00f6glichst gleich schwer sein. Sonst wissen wir nicht, ob das Verhalten der Waage von den Positionen der W\u00fcrfel oder von ihren Gewichtsunterschieden abh\u00e4ngt.<\/p>\n\n\n\n

Dazu bringen die Sch\u00fcler jetzt durch systematische Vergleiche alle W\u00fcrfel in eine Gewichtsreihenfolge von links nach rechts. <\/p>\n\n\n\n

Wir erl\u00e4utern, dass in unserem speziellen Fall, die W\u00fcrfel zwar theoretisch lauter unterschiedliche Gewichte besitzen, doch im Rahmen der Messgenauigkeit unserer Waage interessieren uns Unterschiede nicht, die kleiner als ca. ein halbes Gramm sind.<\/p>\n\n\n\n

W\u00fcrfel, die in diesem Sinne „gleich schwer“ sind, erkennen wir daran, dass die Waage nur bis zum Rand des mittleren Lochs auf der Skala ausschl\u00e4gt. Solche W\u00fcrfel bilden eine Gruppe. Wir legen sie hintereinander. Am Ende haben wir 5 oder 6 S\u00e4ulen unterschiedlicher L\u00e4nge. Die S\u00e4ule mit den schwersten W\u00fcrfeln ganz links, die leichtesten ganz rechts.<\/p>\n\n\n\n

\"1667718418402.jpg<\/figure>\n\n\n\n

Wir werden sieben oder acht W\u00fcrfel in der l\u00e4ngsten S\u00e4ule finden. Reichen uns diese im Einzelfall nicht f\u00fcr ein Experiment aus, dann nehmen wir W\u00fcrfel aus daneben liegenden Gruppen hinzu, m\u00fcssen aber darauf achten, dass wir sie auf unterschiedliche Seiten der Waage legen.<\/p>\n\n\n\n

Wie gro\u00df ist der maximale Unterschied, den wir beobachten k\u00f6nnen?
In unserem Fall waren es 1,5 Skalenstriche, also mehr als 3 Gramm. Bei einem mittleren Gewicht des Einzelw\u00fcrfels von ca. 21 Gramm sind dies immerhin 15%.<\/p>\n\n\n\n

Anmerkung f\u00fcr Oberstufensch\u00fcler: Wenn die W\u00fcrfel zuf\u00e4llig aus unterschiedlichen H\u00f6lzern hergestellt worden sind, dann spricht einiges daf\u00fcr, dass wir eine Normalverteilung der Gewichtsklassen erhalten („Glockenkurve“)<\/em>. Falls Testverfahren („Student t“) bekannt sind, k\u00f6nnte man mit den konkreten Zahlen und einem Signifikanzniveau von z.B. 0,05 testen lassen, ob die Hypothese einer Normalverteilung abgelehnt werden kann.<\/p>\n\n\n\n

Exkurs in Richtung Informatik<\/h2>\n\n\n\n

Wir haben hier die Situation eines klassischen Sortierproblems, bei dem die Zahl der notwendigen Paarvergleiche m\u00f6glichst gering gehalten werden sollte.<\/p>\n\n\n\n

Ein einfaches Verfahren, das diese Anzahl gegen\u00fcber der maximalen Zahl von N*(N-1) \/ 2 deutlich reduziert, ist der Merge-Sort<\/em>. Wenn z.B. 12 W\u00fcrfel in eine Ordnung gebracht werden sollen, bilden wir vier Gruppen zu je drei W\u00fcrfeln. Durch drei Wiegungen (insgesamt also 4*3 = 12) erhalten wir deren richtige Reihenfolge. Dann f\u00fcgen wir je zwei Gruppen zusammen (2 * 5 weitere Wiegevorg\u00e4nge) und dann ben\u00f6tigen wir noch 11 Wiegungen, um die beiden Sechsergruppen zusammenzuf\u00fcgen. Wir ben\u00f6tigen also 33 Wiegungen. W\u00fcrden wir jeden W\u00fcrfel mit jedem anderen vergleichen, w\u00e4ren es 66.<\/p>\n\n\n\n

Um das Prinzip zu verstehen, kann man auch ein Kartenspiel benutzen, Man benutzt je 12 Karten jeder Farbe (z.B. ohne das Ass). Dann k\u00f6nnen vier Sch\u00fcler das Verfahren parallel durchdenken.<\/p>\n\n\n\n

Optional k\u00f6nnte man auch den Bubble-Sort<\/em> erkl\u00e4ren.<\/p>\n\n\n\n

W\u00fcrfel und andere Gewichte<\/h3>\n\n\n\n

Wir bringen weiter Baufix-Teile ins Spiel, und zwar Reifen und die zugeh\u00f6rigen Radscheiben.<\/p>\n\n\n\n

Durch Paarvergleich erkennen die Sch\u00fcler sofort, dass Scheiben leichter sind als W\u00fcrfel, Reifen aber schwerer.<\/p>\n\n\n\n

Wir vergleichen zun\u00e4chst die Gummireifen untereinander und stellen fest, dass es bei ihnen keine nennenswerten Unterschiede gibt.<\/p>\n\n\n\n

Bei den Holzscheiben erwarten wir wieder Unterschiede. Und nat\u00fcrlich gibt es sie auch. Wir suchen mindestens 7 m\u00f6glichst gleichartige Scheiben und nehmen mindestens 5 Reifen. Damit die Zahlenverh\u00e4ltnisse m\u00f6glichst gut stimmen, die weiter unten ermittelt werden, sollte man die Scheiben tendenziell eher von der leichteren Sorte w\u00e4hlen.<\/p>\n\n\n\n

Im Rahmen der folgenden Wiegungen vernachl\u00e4ssigen wir kleinere Abweichungen des Zeigers von der Mittelstellung.<\/p>\n\n\n\n

Der Lehrer legt zwei Reifen, drei Scheiben und einen W\u00fcrfel auf die eine Seite der Waage und sechs W\u00fcrfel auf die andere Seite. DIe Waage ist im Gleichgewicht. Dann fordert er die Sch\u00fcler auf, durch Probieren und Rechnen herauszufinden, in welchem Verh\u00e4ltnis die Gewichte von Scheiben (S), W\u00fcrfeln (W) und Reifen (R) zueinander stehen.<\/p>\n\n\n\n

\"1667721032723.jpg<\/figure>\n\n\n\n

Vielleicht stellt ein Sch\u00fcler fest, dass man hier „k\u00fcrzen kann“.<\/p>\n\n\n\n

6 W\u00fcrfel = 5 W\u00fcrfel + 1 W\u00fcrfel = 2 Reifen + 3 Scheiben + 1W\u00fcrfel <\/p>\n\n\n\n

oder : 5W = 2R + 3S<\/p>\n\n\n\n

Aber es bleibt das Problem, dass alle drei Sorten (W,R,S) beteiligt sind.<\/p>\n\n\n\n

Die Sch\u00fcler sollten in der Lage sein (notfalls mit ein wenig Hilfe), ein ganzzahliges N\u00e4herungsverh\u00e4ltnis f\u00fcr die Gewichte von jeweils zwei Sorten zu finden, indem sie mit 1:1 beginnen und dann so lange weitere Elemente hinzuf\u00fcgen, bis Gleichgewicht herrscht.<\/p>\n\n\n\n

Dieses Vorgehen ergibt sich fast automatisch. Interessanterweise hat es eine gewisse \u00c4hnlichkeit mit dem sog. Bresenham-Algorithmus,<\/em> der milliardenfach auf dem Erdball implementiert ist: Er dient dazu, auf einem Bildschirm mit einem Pixelraster eine gerade Linie mit einer beliebigen Neigung m\u00f6glichst gut darzustellen. Die Neigung der Linie entspricht dem wahren Verh\u00e4ltnis der Gewichte in unserem Fall.<\/p>\n\n\n\n

Reifen und W\u00fcrfel<\/h3>\n\n\n\n
1R > 1W\n                         1R < 2W\n2R > 2W\n                         2R < 3W\n3R > 3W\n3R > 4W\n                         3R < 5W\n4R > 5W\n                         4R < 6W\n5R > 6W\n              5R = 7W<\/code><\/pre>\n\n\n\n
St\u00e4ndig kippt die Waage von links nach rechts und zur\u00fcck; ab und zu m\u00fcssen wir zweimal auf derselben Seite einen W\u00fcrfel hinzuf\u00fcgen.<\/p>\n\n\n\n
Scheiben und Reifen<\/h3>\n\n\n\n
Vergleichen wir Scheiben und Reifen, so stellt sich bei 2S = 1R ein ziemlich gutes Gleichgewicht ein. F\u00fcr die weiteren Betrachtungen verwenden wir dieses einfache Verh\u00e4ltnis von 2:1.<\/strong><\/p>\n\n\n\n
Aber zun\u00e4chst wollen wir es doch noch ein wenig genauer wissen (je nach dem Alter der Sch\u00fcler).<\/p>\n\n\n\n
Es bleibt n\u00e4mlich ein kleiner Unterschied: die Scheiben sind ein wenig schwerer. Der Unterschied an der Skala zeigt sich immer deutlicher, je mehr Gegenst\u00e4nde wir drauf packen. Bei 8 Scheiben und 4 Reifen ist der Unterschied durchaus gro\u00df, aber wenn man einen Reifen extra hinzuf\u00fcgt, ist er noch viel gr\u00f6\u00dfer!<\/p>\n\n\n\n
H\u00e4tte man mehr Scheiben, mehr Reifen und eine gr\u00f6\u00dfere Waage, so k\u00f6nnte man das Verh\u00e4ltnis sicher genauer bestimmen. Die Sch\u00fcler spekulieren: Vielleicht passen 10 Reifen und 2*10-1 = 19 Scheiben zusammen, vielleicht auch 9 Reifen und 17 Scheiben?<\/p>\n\n\n\n
Optional: Rechnen mit echten Gewichten<\/h3>\n\n\n\n
Mit einer K\u00fcchenwaage stellen wir fest: 10 Scheiben wiegen 84 Gramm, 5 Reifen 80 Gramm. Sch\u00fcler ab Jahrgangsstufe 5 oder 6 sollten in der Lage sein, auf dieser Basis – und sei es durch „mathematisches Probieren“ herauszufinden, wie man zu einem einigerma\u00dfen genauen Ganzzahlverh\u00e4ltnis gelangt. Etwa so:<\/p>\n\n\n\n
20 * 8.4 = 168      —–   10  * 16 = 160<\/p>\n\n\n\n
Wir erfreulich! Der Unterschied liegt bei  8 Gramm, und das ist ja ziemlich genau das Gewicht einer Scheibe. Also klappt es mit 19 Scheiben und 10 Reifen wirklich gut!<\/p>\n\n\n\n
Nun ist Mathematik nicht ganz gl\u00fccklich mit „ungef\u00e4hr“ und „ziemlich gut“. Geht es nicht doch so, dass es ganz genau<\/strong> passt?<\/p>\n\n\n\n
Der Lehrer hilft: Wie gro\u00df ist denn die Differenz zwischen zwei Schieben und einem Reifen<\/em>? Sie betr\u00e4gt 0.8 Gramm. Also m\u00fcssen wir offenbar versuchen, ein Vielfaches von 0.8 Gramm zu finden, das ganz genau mit dem Gewicht einer Scheibe oder eines Reifens \u00fcbereinstimmt!
Pl\u00f6tzlich ist es klar: Wir brauchen einen Faktor 20, denn 20 * 0.8 = 16. Daraus folgt, dass wir bei 40 Scheiben einen Reifen mehr als die H\u00e4lfte auflegen k\u00f6nnen, also 21 Reifen.
Wir rechnen nach: 40 * 8.4 = 336 = 21 * 16 — Hurra!<\/p>\n\n\n\n
HINWEIS: Man sollte sich keine Illusionen \u00fcber die erzielbare Genauigkeit einer digitalen K\u00fcchenwaage machen. Die Einzelgewichte liegen im Bereich von 8 – 16 Gramm; ein Messfehler von 3% plus\/minus 1 Digit kann dazu f\u00fchren, dass jeder einzelne Wert um zwei Gramm falsch angezeigt wird. Deshalb haben wir eine Gruppe von gleichen Objekten gewogen und das Einzelgewicht durch Division ermittelt.<\/em><\/p>\n\n\n\n
Scheiben und W\u00fcrfel<\/span><\/h3>\n\n\n\n
Gest\u00e4rkt durch die bisherigen \u00dcbungen ermitteln wir ein ungef\u00e4hres Verh\u00e4ltnis von 3:2. Wir sollten uns aber nicht ganz so schnell zufrieden geben. Wenn wir noch ein wenig weiter machen, finden wir, dass 7:5 deutlich besser stimmt. Damit wollen wir weiter machen.<\/p>\n\n\n\n
Dreier-Vergleich: Zusammenfassung<\/h3>\n\n\n\n
(a)   5R   =   7W
(b)   2S   =   1R
(c)   5W  =   7S<\/p>\n\n\n\n
Mit diesem Wissen schauen wir jetzt noch einmal das Eingangsbeispiel des Lehrers an<\/p>\n\n\n\n
\"1667721032723.jpg<\/figure>\n\n\n\n
6W = 1W + 2R + 3S
Wir entfernen eine W\u00fcrfel: 5W = 2R + 3S<\/p>\n\n\n\n
Wir ersetzen 1R durch 2S bzw. 2R durch 4S und erhalten ein Ergebnis, das wir schon kennen: 5W = 2 * 2S + 3S = 7S. Also wissen wir, dass die Waage im Gleichgewicht sein muss.<\/p>\n\n\n\n
Wir probieren andere Ersetzungen aus, z.B. 2S durch 1R<\/p>\n\n\n\n
Wir k\u00f6nnen 2S durch 1R ersetzen: 5W = 2R + 3S = 3R + 1S<\/p>\n\n\n\n
Ersetzen wir jetzt links 5W durch 7S, dann ergibt sich 7S = 3R + 1S<\/p>\n\n\n\n
oder 6S = 3R oder 4S = 2R oder 2S = 1R und das hatten wir ja schon.<\/p>\n\n\n\n
Wenn man den Kindern ein wenig Zeit l\u00e4sst, k\u00f6nnen sie so lange experimentieren, bis sie die Zahlenverh\u00e4ltnisse verinnerlicht haben. Je nach individueller Neigung und Bef\u00e4higung werden einige in der Lage sein, die formale Notation als eine geeignete Darstellungsform zu empfinden und kreativ damit umzugehen. Idealerweise besteht das Ziel darin, durch \u00c4nderungen der Gleichungen Hypothesen aufzustellen und diese dann experimentell zu \u00fcberpr\u00fcfen, also den Vorgang umzukehren.<\/strong><\/em><\/p>\n\n\n\n
Dabei k\u00f6nnen nat\u00fcrlich auch Ungleichungen postuliert werden, wie etwa 
(X)    5S sind leichter als 4W
(Y)    5S + 2W sind schwerer als 4R
(Z)    4S + 1R    sind schwerer als    4W<\/p>\n\n\n\n
Ganze Zahlen als Gewichte<\/h3>\n\n\n\n
Es ist n\u00fctzlich, ganze Zahlen zu suchen, die m\u00f6glichst gut zu den Verh\u00e4ltnissen passen, welche wir ermittelt haben.<\/p>\n\n\n\n
S : W = 5 : 7  und S : R = 1 : 2 bringen uns dazu, die Zahlen S = 5, W = 7 und R = 10 zu benutzen.<\/p>\n\n\n\n
Streng genommen stimmen diese Werte nicht ganz genau, denn das Verh\u00e4ltnis W : R ist dabei 7 : 10 (1,43) und nicht 5:7 (1,40). Diese kleine Abweichung k\u00f6nnen wir aber akzeptieren. Sooo genau waren unsere Messungen nicht; deshalb enthalten sie diesen kleinen Widerspruch.<\/p>\n\n\n\n
S : W : R = 5 : 7 : 10<\/strong><\/h2>\n\n\n\n
Wir \u00fcberpr\u00fcfen die Behauptungen, die wir oben aufgestellt haben:
(X)    5S sind leichter als 4W  =>  5 * 5 = 25 < 4 * 7 = 28
(Y)    5S + 2W sind schwerer als 4R  =>   25 + 14 = 39 < 40
(Z)    4S + 1R    sind schwerer als    4W => 20 + 10 > 28<\/p>\n\n\n\n
Der Unterschied bei der Gleichung (Y) ist sehr gering; er betr\u00e4gt nur 2.5%; es kann sein, dass man ihn gar nicht erkennt oder dass er sogar in die falsche Richtung ausschl\u00e4gt, je nachdem, wie die genauen Einzelgewichte der beteiligten Objekte sind. Hintergrund ist auch, dass wie oben dargestellt die Ganzahlverh\u00e4ltnisse 5:7:10 nur N\u00e4herungen darstellen, die sich im konkreten Beispiel ung\u00fcnstig auswirken. Wenn man als Lehrer darauf achtet, dass bei den Scheiben oder W\u00fcrfeln dieser Wiegung einige dabei sind, die eher auf der leichteren Seite liegen, wird es klappen.<\/p>\n\n\n\n
\u00c4ltere Sch\u00fcler k\u00f6nnen aber gern mit den echten Gewichten (8,4 : 11 : 16) nachrechnen und stellen fest:
5S + 2W = 42 + 22 = 64 = 4 * 16. Man erwartet also ein Gleichgewicht!<\/p>\n\n\n\n
Exkurs: Gazzahlverh\u00e4ltnisse<\/h2>\n\n\n\n
Das Problem, ein „krummes“ Verh\u00e4ltnis m\u00f6glichst gut durch ganze Zahlen abzubilden, kennen wir auch an ganz anderer Stelle, n\u00e4mlich immer dann, wenn es um die Besetzung von Bundestag, Landtagen oder Gemeinder\u00e4ten geht. Dort sitzen nur „ganze“ Menschen, die abgegebenen Stimmen und ihr Verh\u00e4ltnis zueinander ergeben aber krumme Werte.<\/p>\n\n\n\n
Im Wahlrecht der BRD sind genaue Vorschriften enthalten, wie man die passenden ganzen Zahlen so ermittelt, dass sie die Verteilung der abgegebenen Stimmen m\u00f6glichst fair widerspiegeln.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
W\u00fcrfel vergleichen Nun vergleichen wir die Holzw\u00fcrfel, mit denen wir die Waage benutzen wollen. \u00dcberrascht stellen wir fest, dass sie nicht alle genau gleich schwer sind. Holz ist ein nat\u00fcrlicher Werkstoff, der Unregelm\u00e4\u00dfigkeiten im Wuchs hat. Durch Trocknung verliert Holz Feuchtigkeit und wird leichter. Ein Kind versucht mit Hilfe der Waage zwei W\u00fcrfel zu finden,… Doppelwaage – Erste Messungen<\/span> weiterlesen<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/871"}],"collection":[{"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=871"}],"version-history":[{"count":27,"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/871\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":917,"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/871\/revisions\/917"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=871"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=871"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=871"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}