{"id":843,"date":"2022-11-05T16:52:06","date_gmt":"2022-11-05T15:52:06","guid":{"rendered":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/?p=843"},"modified":"2022-11-26T10:15:08","modified_gmt":"2022-11-26T09:15:08","slug":"doppelwaage-aufgaben","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/doppelwaage-aufgaben\/","title":{"rendered":"Doppelwaage – Aufgaben(1)"},"content":{"rendered":"\n

Lange und kurze Arme<\/h2>\n\n\n\n
\"1667673786693.jpg<\/figure>\n\n\n\n

Beide Waagen sind im Gleichgewicht, also steht auch der rote Balken waagrecht. Die Hebelarme (N,O) sind gleich lang. Beobachte die rote Skala, wenn du entweder bei A oder bei K einen W\u00fcrfel dazu legst. <\/p>\n\n\n\n

Der Ausschlag geht nat\u00fcrlich einmal nach links und einmal nach rechts. Aber er ist auch unterschiedlich gro\u00df! Warum?<\/p>\n\n\n\n

Die Ausschl\u00e4ge aller Zeiger sind gleich gro\u00df, wenn ein W\u00fcrfel auf A oder K liegt, weil F,N,O,G gleich weit von ihren Achsen entfernt sind. Allerdings reagieren die Zeiger schw\u00e4cher, wenn der Zusatzw\u00fcrfel bei K aufgelegt wird. Ursache ist, dass die Gewichte der rechten Waage n\u00e4her an der Achse sitzen. Wie so oft, hilft es auch hier, sich eine Extremsituation vorzustellen. W\u00fcrden die Waagschalen rechts beide genau hintereinander auf der Achse des Waagbalkens sitzen (also in der Mitte zwischen I und J), dann h\u00e4tten sie gar keine Wirkung auf den mittleren Balken!<\/p>\n\n\n\n

Der kleine Hebel sitzt woanders<\/h2>\n\n\n\n
\"1667674675530.jpg<\/figure>\n\n\n\n

F\u00fcr das Gleichgewicht macht es keinen Unterschied, wo der kleine rote Hebel auf der rechten Seite sitzt.<\/p>\n\n\n\n

Lege auch jetzt wieder abwechselnd einen Zusatzw\u00fcrfel bei A oder bei K auf. Beobachte die gelben und die roten Skalen. Vergleiche die Ausschl\u00e4ge mit denjenigen der vorherigen Aufgabe. Kannst du erkl\u00e4ren, warum sie verschieden sind?<\/p>\n\n\n\n

Die Ausschl\u00e4ge auf den gelben Skalen sind jetzt nicht mehr gleich gro\u00df, denn P bewegt sich grunds\u00e4tzlich immer weiter weg von der Horizontalen als N. Da H n\u00e4her an seiner Achse sitzt als F, wird dieser Effekt noch verst\u00e4rkt.<\/p>\n\n\n\n

Die rechte Waage reagiert daher diesmal insgesamt st\u00e4rker als die linke, obwohl ihre Waagschalen n\u00e4her an der Mitte h\u00e4ngen. Aber \u00fcber H und P \u00fcbt sie eine doppelt so gro\u00dfe Wirkung auf die linke Waage aus. 2 * 2 \/ 3 ist mehr als 1, also hat sie st\u00e4rkeren Einfluss auf die Gesamtsituation.<\/p>\n\n\n\n

Drei Waagschalen<\/h2>\n\n\n\n
\"1667672485897.jpg<\/figure>\n\n\n\n

Linke Waage: 9 – 3; rechte Waage = 6; Gleichgewicht!<\/p>\n\n\n\n

Wenn sich kein genaues Gleichgewicht einstellt, liegt es daran, dass die Holzw\u00fcrfel nicht exakt dasselbe Gewicht haben. Wenn man sie ein wenig herumtauscht, stellt sich das Gleichgewicht ein.<\/p>\n\n\n\n

Bei F sieht man eine kleine gelbe Scheibe auf dem Waagteller. Sie sorgt zusammen mit einer nicht sichtbaren Metallplatte, die am Teller mit der Nummer 2 befestigt ist, daf\u00fcr, dass die Waage im Gleichgewicht ist, wenn alle Teller leer sind.<\/p>\n\n\n\n

Drei Schalen mit l\u00e4ngerem Hebel rechts<\/h2>\n\n\n\n
\"1667673204681.jpg<\/figure>\n\n\n\n

4 * 3 = 3 * 4<\/p>\n\n\n\n

Drei Hebel, 2:1<\/h2>\n\n\n\n

Aufgabe: Baue die Waagen so um, dass es nur zwei Waagschalen gibt, aber drei Waagbalken. Wir wollen, dass Gleichgewicht herrscht, wenn auf der linken Waage doppelt so viel W\u00fcrfel liegen wie auf der rechten.<\/p>\n\n\n\n

\"1667890467507.jpg<\/figure>\n\n\n\n

Die Sch\u00fcler sp\u00fcren, dass die Ausschl\u00e4ge bei Gewichtsunterschieden kleiner sind. Die Waage ist weniger empfindlich, weil die Wirkungen wegen der kurzen Hebelarme links und rechts au\u00dfen klein sind.<\/p>\n\n\n\n

Der mittlere Arm ist zwar lang, aber er \u00fcbertr\u00e4gt nur die Wirkungen, welche die beiden \u00e4u\u00dferen Waagen erzeugen.<\/p>\n\n\n\n

Wenn wir links und rechts nur einen W\u00fcrfel auflegen, ger\u00e4t die Waage in gro\u00dfe Schieflage. Sie verklemmt sich sogar so , dass wir sie nur mit viel Gef\u00fchl wieder in einen normalen Zustand zur\u00fcck versetzen k\u00f6nnen. Je nach dem Schwung, den sie bekommt, kann der rote Hebel links sogar einen \u00dcberschlag machen und dann in die falsche Richtung zeigen.<\/p>\n\n\n\n

\"1667891354891.jpg<\/figure>\n\n\n\n

Wir sollten den Sch\u00fclern diese Erfahrung nicht vorenthalten!<\/p>\n\n\n\n

Ein Hebel steht schr\u00e4g<\/h2>\n\n\n\n
\"\"
Ist die Waage wirklich genau im Gleichgewicht?<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

Links wirken 5G * 1A = 5W gegen 2G * 3A = 6W. (DEF) = 1W.
Rechts sind es 4G * 2A = 8W gegen 3G * 3A = 9W. (GHI) = 1W.
Mittelbalken links: 1W (DEF) \/ 3A (F) * 3A (N) ergibt 1W (MNOP)
Mittelbalken rechts: 1W (GHI) \/ 2A (H) * 3A (S) ergibt 1.5 W (QRST).<\/p>\n\n\n\n

Aber die Kraft bei H wirkt nur anteilig auf (S), weil der kleine Hebel schr\u00e4g steht. Wenn das Konzept der Winkelfunktionen bekannt ist, kann man auf den Cosinus verweisen. Der Winkel zwischen dem rechten Kopplungshebel und der Senkrechten betr\u00e4gt etwa 30\u00b0, d.h. der Cosinus ist ~ 0.87. Rechts wirkt auf den mittleren Hebel abw\u00e4rts also eine Kraft von 1.5 * 0.87 ~ 1.3. Bei ca. 49\u00b0 Winkel w\u00e4re der Cosinus ~ 2\/3. Dann w\u00fcrde die resultierende Kraft rechts ebenfalls 1 ergeben und wir h\u00e4tten perfektes Gleichgewicht.<\/p>\n\n\n\n

J\u00fcngere Kinder k\u00f6nnen durchaus intuitiv erfassen, dass ein Hebel, an dem man schr\u00e4g zieht, eine geringere Wirkung auf den mittleren Balken hat als einer, der senkrecht steht. Stellt euch mal vor, der rechte Hebel w\u00e4re sehr lang und w\u00fcrde fast ganz waagrecht liegen, weil die rechte Waage weit drau\u00dfen auf der rechten Seite montiert w\u00e4re. Da w\u00fcrde der meiste Teil der Kraft nur an der Befestigung der Achse ziehen, h\u00e4tte aber keine Wirkung auf den Balken.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Eine andere Art der intuitiv verstehbaren Begr\u00fcndung k\u00f6nnte so lauten: Wenn der rechte Hebel nach oben zeigen w\u00fcrde, h\u00e4tte er genau die gegenteilige Wirkung, wie wenn er nach unten zieht (Minus \/ Plus). Wenn er in der Mittelposition steht, also genau waagrecht, dann ist seine Wirkung 0. Je mehr er von der Senkrechten abweicht (schief steht), desto kleiner ist seine anteilige Wirkung auf den Balken.<\/em><\/p>\n\n\n\n

Blockierte Waage<\/h2>\n\n\n\n
\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Links 3 * 4, rechts 6 *2. Das ergibt 12 auf beiden Seiten. Klarer Fall von Gleichgewicht!
Wirklich? Die Kraft bei F zieht nach unten, die Kraft bei G dr\u00fcckt aber nach oben. Warum steht der mittlere Balken nicht total schr\u00e4g?
Weil er blockiert ist! Die vier Hebel bilden eine „Verspannung“ (ein Tragwerk), d.h. keiner der Waagbalken kann sich irgendwie bewegen! Man k\u00f6nnte \u00fcberall beliebige Gewichte auflegen, ohne dass sich etwas ver\u00e4ndert.<\/p>\n\n\n\n

Extreme Verh\u00e4ltnisse<\/h2>\n\n\n\n
\"1667666611558.jpg
Schief oder nicht?<\/figcaption><\/figure>\n\n\n\n

(DEF) = 2 – 0 = 2; die Kraft der linken Waage dr\u00fcckt von F (Abstand 3) nach schr\u00e4g rechts oben zu „:“ (Abstand = 2), der mittlere Balken dr\u00fcckt von P (Abstand 4) schr\u00e4g nach rechts unten zu I. Von C aus gesehen haben wir ein \u00dcbersetzungsverh\u00e4ltnis von 3:1 mal 0,87 mal 2:1 mal 0,87 bis zu I, also 6 * 0.75 : 1 = 8 : 1. Ein W\u00fcrfel, den wir links bei C auflegen, wirkt also bei I so wie 1\/8 W\u00fcrfel.<\/p>\n\n\n\n

echte Waage dr\u00fcckt von I (Abstand 1) nach oben zu P (Abstand 4). Sind die Wirkungen gleich gro\u00df?<\/p>\n\n\n\n

Wir rechnen: 2 \/ 3 * 2 = 4\/3 (links) und 1 \/ 1 * 4 = 4 (rechts).
Das ergibt einen deutlichen Unterschied, der mittlere Balken hebt sich also rechts, weil dort die nach oben dr\u00fcckende Kraft gr\u00f6\u00dfer ist als rechts.<\/p>\n\n\n\n

Wir beobachten, dass sich die Waage nur sehr geringf\u00fcgig bewegt, wenn man bei C W\u00fcrfel dazu legt. Man kann es auch sp\u00fcren, wenn man mit dem Finger dr\u00fcckt. Wir haben ein \u00dcbersetzungsverh\u00e4ltnis von 3 : 1 am linken Waagbalken und 2:1 am mittleren, d.h. jeder W\u00fcrfel, den wir bei C auflegen, wirkt nur mit 1 \/ 6 seines Gewichts bei P.<\/p>\n\n\n\n

<\/p>\n\n\n\n

Weihnachtsmarkt<\/h2>\n\n\n\n

Hier noch ein h\u00fcbsches R\u00e4tsel von Ingmar Rubin (Berlin):<\/em><\/p>\n\n\n\n

\"\"<\/figure>\n\n\n\n

Auf einem Weihnachtsmarkt fand ich einen Verkaufsstand, an dem diverse K\u00f6stlichkeiten angeboten wurden, als da w\u00e4ren: gebrannte Mandeln, feinste Schokostreusel, t\u00fcrkischer Honigkuchen und kandierte Apfel. So war es kein Wunder, dass vor allem die kleinen Kinder mit laufenden Nasen und leuchtenden Augen an diesem Stand ein gro\u00dfes Gedr\u00e4nge verursachten. Und dies war wohl auch der entscheidende Grund f\u00fcr das Malheur: Irgendwann schepperte es, und die stilvolle Balkenwaage zum Abwiegen des S\u00fc\u00dfkrams lag samt dem dazu geh\u00f6renden Satz an W\u00e4gest\u00fccken auf dem Boden. Die W\u00e4gest\u00fccke sind durch den Sturz nicht besch\u00e4digt worden, wohl aber war der Waagebalken verrutscht, so dass die Arme der Balkenwaage nicht mehr die gleiche L\u00e4nge aufwiesen.
Der Verk\u00e4ufer hatte aber sofort einen Ausweg aus diesem Dilemma parat:
Er wog bei jedem Kunden zweimal ab, indem er eine H\u00e4lfte des gew\u00fcnschten S\u00fc\u00dfwerks auf der linken Waagschale mit dem entsprechenden W\u00e4gest\u00fcck auf der rechten Schale gegengewogen hat und anschlie\u00dfend umgekehrt.<\/strong>
W\u00fcnschte also beispielsweise jemand 500 Gramm gebrannte Mandeln, so wurden zun\u00e4chst auf der linken Schale 250 Gramm abgewogen (das 250-Gramm-W\u00e4gest\u00fcck lag dabei auf der rechten Schale) und anschlie\u00dfend 250 Gramm auf der rechten Schale (das 250-Gramm-W\u00e4gest\u00fcck lag dabei auf der linken Schale).<\/em> <\/p>\n\n\n\n

Was ich mich nun frage, ist, ob damit der Fehler der Waage tats\u00e4chlich ausgeglichen wird oder nicht?<\/strong><\/p>\n\n\n\n

  1. Der Fehler wird durch das zweimalige Wiegen vollst\u00e4ndig ausgeglichen.<\/li>
  2. Der Kunde erh\u00e4lt stets mehr als die gew\u00fcnschte Menge.<\/li>
  3. Der Kunde bekommt auf diese Weise immer 9\/8 des verlangten Gewichtes.<\/li>
  4. Der Kunde erh\u00e4lt stets weniger als die gew\u00fcnschte Menge.<\/li>
  5. Die Frage l\u00e4sst sich nur genau beantworten, wenn man ausmessen kann, um wie viele Millimeter der Waagebalken aus der Mitte verschoben ist.<\/li>
  6. Das Verfahren funktioniert nur bei einer Menge von 500 Gramm exakt.<\/li>
  7. Der Kunde bekommt auf diese Weise stets die doppelte Menge an S\u00fc\u00dfwaren.<\/li>
  8. Der Kunde bekommt auf diese Weise stets die halbe Menge an S\u00fc\u00dfwaren.<\/li>
  9. Es gibt genau drei m\u00f6gliche Positionen des Waagbalkens, so dass die Balkenwaage exakt misst.<\/li>
  10. Man erh\u00e4lt stets mehr als die gew\u00fcnschte Menge, aber nicht mehr als das Doppelte.<\/li><\/ol>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    Lange und kurze Arme Beide Waagen sind im Gleichgewicht, also steht auch der rote Balken waagrecht. Die Hebelarme (N,O) sind gleich lang. Beobachte die rote Skala, wenn du entweder bei A oder bei K einen W\u00fcrfel dazu legst. Der Ausschlag geht nat\u00fcrlich einmal nach links und einmal nach rechts. Aber er ist auch unterschiedlich gro\u00df!… Doppelwaage – Aufgaben(1)<\/span> weiterlesen<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/843"}],"collection":[{"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=843"}],"version-history":[{"count":12,"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/843\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":945,"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/843\/revisions\/945"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=843"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=843"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/followthescore.org\/schueler-labor\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=843"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}